Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）當時，討論的單調性；

（Ⅲ）若對于任意的都有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 取得極小值為，無極大值．；（Ⅱ）當時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當時， 在上是減函數(shù)，當時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 當時， ，定義域為， ．據(jù)此可得當時， 取得極小值為，無極大值．

(Ⅱ) 當時，函數(shù)的定義域為，且．分類討論有：

（1）當時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當時， 在上是減函數(shù)；

（3）當時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

(Ⅲ) 由（Ⅱ）知，當時， 在上是減函數(shù)．原問題等價于對任意恒成立，分離參數(shù)有對任意恒成立．據(jù)此可得實數(shù)的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）當時， ，定義域為，

的導函數(shù)．

當時， ， 在上是減函數(shù)；

當時， ， 在上是增函數(shù)．

∴當時， 取得極小值為，無極大值．

（Ⅱ）當時， 的定義域為， 的導函數(shù)為．

由得， ， ．

（1）當時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當時， 在上是減函數(shù)；

（3）當時， 在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時， 在上是減函數(shù)．

∴．

∵對于任意的都有，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立．

當時， ，∴．

∴實數(shù)的取值范圍為．