Question

（2012•浦東新區(qū)一模）已知共有k（k∈N^*）項(xiàng)的數(shù)列{a_n}，a₁=2，定義向量

cn

=(an，an+1)、

dn

=(n ， n+1)（n=1，2，3，…，k-1），若|

cn

|=|

dn

|，則滿足條件的數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A．2
• B．k
• C．2^k-1
• D．2

  k(k-1)

  2

Answer 1

分析：通過(guò)向量的模相等，推出a_n與a_n+1的關(guān)系，通過(guò)遞推關(guān)系式，推出 a_n²=a₁²-1²+n²，n為奇數(shù)，a_n²=a₂²-2²+n²，n為偶數(shù)，然后判斷足條件的數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)．

解答：解：由|

cn

|=|

dn

|，可知，a_n²+a_n+1²=n²+（n+1）²，
即a_n+1²-（n+1）²=-（a_n²-n²），
則 a_n+1²-（n+1）²=a_n-1²-（n-1）²，
推得 a_n²=a₁²-1²+n²，n為奇數(shù)
a_n²=a₂²-2²+n²，n為偶數(shù)
另外由 c₁=d₁ 可以得出 a₂=1或-1
由上可看出，a_n²有唯一解，
所以a_n有互為相反數(shù)的兩解（除了已知的a₁）
故a_n個(gè)數(shù)為 2^k-1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，向量的模的求法，考查計(jì)算能力．