Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分

已知曲線的方程為，、為曲線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有．

（1）若所在直線的方程為，求的值；

（2）若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求證：為定值；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，用類比或推廣的方法對新的圓錐曲線寫出一個(gè)命題，并對該命題加以證明．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵所在直線的方程為

由    可得     ∴…………2分

又  ∵  ∴  ∴所在直線的方程為，

同理可得……………4分

∴          ……………5分

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)在軸上，此時(shí)有，，

           ……………6分

當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、

由   可得， ∴ ……………8分

同理，由可得， ∴ ……………9分

∴為定值………11分

（3）根據(jù)所寫新命題的思維層次的不同情況分別進(jìn)行評分

①已知雙曲線的方程為，、為曲線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有。求證：為定值。               ……………13分

證明：顯然、兩點(diǎn)都不能在軸上，

設(shè)所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、

由   可得，  ……………14分

同理，由可得，

∴………15分

②已知橢圓的方程為，、為曲線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有。

求證：……………13分

證明：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)在軸上，

此時(shí)有，，       ……………14分

當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)所在直線的方程為，

則所在直線的方程為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、

由   可得， 

……………15分

同理，由可得

， ……………16分

∴…17分

③已知雙曲線的方程為，、為曲線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，

則當(dāng)時(shí)，求證：……………14分

證明：顯然、兩點(diǎn)都不能在軸上，

設(shè)所在直線的方程為，則所在直線的方程為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、

由   可得，  ……15分

同理，由可得

， ……………17分

故……………18分

 

【解析】略