Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1．f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則

b+2

a+2

的取值范圍是（　�。�

• A、(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• B、(-∞，

  1

  2

  )∪(3，+∞)
• C、(

  1

  2

  ，3)
• D、（-∞，-3）

Answer 1

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍，最后利用不等式的性質(zhì)得到答案．

解答：解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞減，
∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，
又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，
即2a+b＜4，
又由a＞0．b＞0；
點(diǎn)（a，b）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，不包括邊界，

b+2

a+2

的幾何意義是區(qū)域的點(diǎn)與A（-2，-2）連線的斜率，
直線AB，AC的斜率分別是

1

2

，3；則

b+2

a+2

∈(

1

2

，3)；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．