Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=，且對(duì)任意n∈N^*，都有．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）試問數(shù)列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請(qǐng)指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說明理由．
（Ⅲ）令，證明：對(duì)任意n∈N*，都有不等式成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）條件可變形為a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，整理得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，兩邊同除以a_na_n+1，可得，從而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．                    
（II）由（Ⅰ）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，從而可得=．只需證明是正整數(shù)即可．
（Ⅲ）由（II）知：，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對(duì)任意n∈N*都成立．對(duì)于當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，有2^k+4＞（k+4）²，當(dāng)n=k+1時(shí)，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²，從而可證．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
所以
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．                    
（II）由（Ⅰ）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以
∴=．             
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124608475681534/SYS201310251246084756815017_DA/22.png">
當(dāng)k∈N^*時(shí)，一定是正整數(shù)，所以是正整數(shù)．
所以a_k-a_k+1是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，是第項(xiàng)．                 
（Ⅲ）證明：由（II）知：，．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對(duì)任意n∈N*都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然2⁵＞5²，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，有2^k+4＞（k+4）²，
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²
即有：也成立．
綜合（i）（ii）知：對(duì)任意n∈N^*，都有不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查等差數(shù)列的定義，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確利用遞推式求通項(xiàng)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．