Question

莆田四中高二年級(jí)設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的能力考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過(guò)該學(xué)科的能力考查．已知6道備選題中考生甲能正確完成其中4道題，另2道題不能完成；考生乙正確完成每道題的概率都為

2

3

，且每道題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）求考生甲能通過(guò)該實(shí)驗(yàn)學(xué)科能力考查的概率；
（Ⅱ）記所抽取的3道題中，考生甲能正確完成的題數(shù)為ξ，寫出ξ的概率分布，并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較甲、乙考生在該實(shí)驗(yàn)學(xué)科上的能力水平．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲生要通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查，就要正確完成所抽取3道題中的2道或3道，由此能求出考生甲通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查的概率．
（Ⅱ）甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為ξ，ξ服從超幾何分布，利用古典概型公式求出概率，得出分布列．并求Eξ及Dξ；
（Ⅲ）再求出乙的正確完成的題數(shù)η的分布列，計(jì)算期望與方差，進(jìn)行比較．

解答：解：（Ⅰ）∵考生甲要通過(guò)實(shí)驗(yàn)考查，就必須正確完成所抽三道題中的2道或3道．
∴所求概率為P=

C 2 4 C 1 2 + C 3 4

C 3 6

=

4

5

（Ⅱ）由已知，ξ=0，1、2、3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

．
所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：

Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2
（Ⅲ）乙考生正確完成題數(shù)η的概率分布列為：

x2	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

Eη=

0× 1 27 +1× 2 9 +2× 4 9 +3× 8 27 =2

∴Eξ=Eη，表明甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的平均取值相同．
∵Dξ=(1-2)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(3-2)2×

1

5

=

2

5

Dη=(0-2)2×

1

27

+(1-2)2×

2

9

+(2-2)2×

4

9

+(3-2)2×

8

27

=

2

3

∴Dξ＜Dη，這表明ξ的取值比η的取值相對(duì)集中于均值2的周圍，
因此甲生的實(shí)際操作能力比乙生強(qiáng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算和分布列的求法，考查利用數(shù)學(xué)期望和方差分析比較甲、乙兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)思想的價(jià)值和意義．