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          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的導函數(shù)為f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．數(shù)列{an}滿足a1=1，且當n≥2，n∈N*時，an=n2[數(shù)學公式+數(shù)學公式+…+數(shù)學公式]．
          （1）求函數(shù)f（x）的解析式；
          （2）當n≥2且n∈N*時，比較數(shù)學公式與數(shù)學公式的大�。�
          （3）比較（1+數(shù)學公式）（1+數(shù)學公式）（1+數(shù)學公式）L（1+數(shù)學公式）與4的大�。�
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				解：（1）∵f（x）=ax2+bx+c，∴由f（-x）=f（x），有b=0，得f（x）=ax2+c．又f（1）=1，f′（-1）=-2，∴a+c=1，2a×（-1）=-2，∴a=1，c=0，∴f（x）=x2．
          （2）∵f（n）=n2，∴．，∴，，∴．
          （3）由題意可得a2=4；當n=1時，有．當n≥2且n∈N*時，
          （1+）（1+）（1+）L（1+）=4（）
          所以，對任意n∈N*有（1+）（1+）（1+）L（1+）＜4．
          分析：（1）利用由f（-x）=f（x），有b=0，從而f（x）=ax2+c，f（1）=1，f′（-1）=-2，可求a、c的值，從而可求函數(shù)表達式；
          （2）分別表示出分子、分母，進而可得；
          （3）將連乘積表示為（1+）（1+）（1+）L（1+）=，再用裂項求和法，利用可得結(jié)論．
          點評：本題考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查裂項求和、放縮法，有一定的技巧．				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
          （I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
          （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
          （Ⅰ）求f（x）的表達式；
          （Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
          （1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
          （2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
          f(x)x-1
          ．
          （1）求a的值；
          （2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
          （3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
          （2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．
          

			
          

			
          
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