Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).

①實(shí)數(shù)的取值范圍；

②證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；

（2）①求得的導(dǎo)數(shù)，討論的符號(hào)，求得單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，可得最小值小于，解不等式可得的范圍；

②由題意可得，作差可得，運(yùn)用分析法證明，轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，

可得在處切線的斜率為，

則切線方程為，即.

（2）

①函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，

若，則在上遞增，不成立；

當(dāng)時(shí)，在時(shí)遞增，在時(shí)遞減，

所以在處取得極小值，且為最小值，

由題意可得，解得.

②依題意可得，

兩式相減并化簡(jiǎn)得，要證，

即證，

即為，即為，即為，

由可得，設(shè)，

可得，

設(shè)，

，

則在遞增，而，所以，

所以，

則.