Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，點(diǎn)A（0，-3），M是圓上任意一點(diǎn)，線段AM的中垂線l和直線CM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為（　�。�

• A．y2-

  x2

  8

  =1(y＞0)
• B．y2-

  x2

  8

  =1
• C．

  x2

  8

  -y2=1
• D．x2-

  y2

  8

  =1

Answer 1

分析：由題意畫出圖形，通過把Q到A和C的距離轉(zhuǎn)化，得到Q點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后直接由雙曲線定義得方程．

解答：解：如圖，連結(jié)QA，由于Q在AM的中垂線上，有|QA|=|QM|，
則||QA|-|QC||=||QM|-|QC||=|CM|．
CM是⊙C的半徑，|CM|=2．
所以Q到A、C的距離之差的絕對值為定值，則軌跡為雙曲線，
雙曲線的焦點(diǎn)是A、C，中心是AC中點(diǎn)
由于A（0，-3），C（0，3），
所以c=3，a=1．
則b²=a²-c²=8．
則雙曲線的方程是：y2-

x2

8

=1．
即Q的軌跡方程為y2-

x2

8

=1．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了雙曲線的定義，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．