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        1. 已知函數(shù)f(x)=(
          x-1
          x+1
          )2(x>1)

          (1)求f-1(x)的表達(dá)式;
          (2)判斷f-1(x)的單調(diào)性;
          (3)若對(duì)于區(qū)間[
          1
          4
          ,
          1
          2
          ]
          上的每一個(gè)x的值,不等式(1-
          x
          )f-1(x)>m(m-
          x
          )
          恒成立,求m的取值范圍.
          分析:(1)由函數(shù)f(x)=(
          x-1
          x+1
          )2(x>1)
          解x,交換x、y的位置,求出f-1(x)的表達(dá)式;
          (2)根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性相同,求f-1(x)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (3)把f-1(x)的表達(dá)式代入不等式(1-
          x
          )f-1(x)>m(m-
          x
          )
          中,整理轉(zhuǎn)化為關(guān)于
          x
          的不等式恒成立,借助于一次函數(shù)的圖象可得關(guān)于m的不等式組,求得m的取值范圍.
          解答:解:(1)由y=(
          x-1
          x+1
          )2(x>1)
          ,得
          x-1
          x+1
          =
          y
          ,
          x-1=
          y
          (x+1)
          ,于是x=
          1+
          y
          1-
          y

          又x>1時(shí),
          x-1
          x+1
          =1-
          2
          x+1
          ∈(0,1),所以(
          x-1
          x+1
          )2
          ∈(0,1).

          f-1(x)=
          1+
          x
          1-
          x
           (0<x<1)

          (2)由于
          x-1
          x+1
          =1-
          2
          x+1
          是(1,+∞)上的增函數(shù),且
          x-1
          x+1
          >0,
          ∴f(x)是(1,+∞)上的增函數(shù),
          從而f-1(x)是(0,1)上的增函數(shù);
          (3)(1-
          x
          )f-1(x)>m(m-
          x
          ),亦即(1+m)
          x
          -m2+1>0
          在區(qū)間[
          1
          4
          ,
          1
          2
          ]
          上恒成立,
          1
          2
          (1+m)-m2+1>0
          2
          2
          (1+m)-m2+1>0.
          解得-1<m<
          3
          2
          點(diǎn)評(píng):考查求反函數(shù)的方法,體現(xiàn)解方程的思想方法,注意互為反函數(shù)的定義域和值域及單調(diào)性之間的關(guān)系;不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,求函數(shù)的最值體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,屬難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          3x+5,(x≤0)
          x+5,(0<x≤1)
          -2x+8,(x>1)
          ,
          求(1)f(
          1
          π
          ),f[f(-1)]
          的值;
          (2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
          (1-3a)x+10ax≤7
          ax-7x>7.
          是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
          A、(
          1
          3
          ,1)
          B、(
          1
          3
          ,
          1
          2
          ]
          C、(
          1
          3
          ,
          6
          11
          ]
          D、[
          6
          11
          ,1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          |x-1|-a
          1-x2
          是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2x-2-x2x+2-x

          (1)求f(x)的定義域與值域;
          (2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
          (3)研究f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          x-1x+a
          +ln(x+1)
          ,其中實(shí)數(shù)a≠1.
          (1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
          (2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案