Question

設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且對任意的正實(shí)數(shù)x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立．已知f(2)＝1，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0．

(1)求f()的值，試判斷y＝f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并加以證明；

(2)一個各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，它的前n項(xiàng)和是S_n，若a₁＝3，且f(S_n)＝f(a_n)＋f(a_n＋1)－1(n≥2，n∈N^*)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)M，使2ⁿ·a₁·a₂……a_n≥M··(2a₁－1)·(2a₂－1)……(2a_n－1)

對于一切正整數(shù)n均成立？若存在，求出M的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令，得 　　令，得　2分 　　在上單調(diào)遞增．下面證明： 　　任取，則，故 　　在已知式中令，得，即證．　4分 　　(2)當(dāng)時(shí)， 　　，即 　　在上單調(diào)遞增，　6分 　　 　　兩式相減得：，即 　　， 　　數(shù)列從第二項(xiàng)起，是以1為公差的等差數(shù)列　7分 　　又在中令可得： 　　綜上，．　8分 　　(3)　9分 　　， 　　 　　令， 　　則 　　是遞增數(shù)列 　　 　　　12分