Question

已知△ABC的三邊a，b，c和面積S滿足S=a²-（b-c）²，且b+c=8．
（1）求cosA；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形面積公式，結合已知可得S=a2-b2-c2+2bc=

1

2

bcsinA，結合余弦定理可得sinA=4-4cosA，再結合平方關系可求cosA；
（2）由（1）可得A的正弦值，結合b+c=8，將S的表達式化為二次函數，結合二次函數的圖象和性質可求出S的最值．

解答：解：（1）由題意得：S=a2-b2-c2+2bc=

1

2

bcsinA
根據余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA⇒a²-b²-c²=-2bccosA
代入上式得：2bc-2bccosA=

1

2

bcsinA
即   sinA=4-4cosA
代入  sin²A+cos²A=1得：cosA=

15

17

（2）由（1）得  sinA=

8

17

∵b+c=8∴c=8-b
∴S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc=

4

17

b(8-b)=

4

17

(-b2+8b)≤

64

17

所以，面積S的最大值為

64

17

點評：本題考查的知識點是余弦定理，三角形的面積，給值求值，是三角函數的簡單綜合應用，難度中檔