Question

已知橢圓E的方程為：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P（1，）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓E的頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓E交于（不同于點(diǎn)A的）兩點(diǎn)M，N．
問：直線MN是否一定經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）右焦點(diǎn)為（1，0），點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，2a=|PF₁|+|PF₂|=，
由此能求出橢圓方程．
（II）設(shè)直線AM方程為y=k（x+2），由，解得，同理，得N（），
若，則得k²=1，即直線MN的方程為，此時(shí)過x軸上一點(diǎn)Q（-），由此能導(dǎo)出直線MN過x軸上一定點(diǎn)Q（-）．
解答：解：（I）∵右焦點(diǎn)為（1，0），∴c=1，左焦點(diǎn)為（-1，0），點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=，
∴，
∴橢圓方程為．
（II）設(shè)直線AM方程為y=k（x+2），
則有，整理，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得，同理，得N（），
若，則得k²=1，即直線MN的方程為
，此時(shí)過x軸上一點(diǎn)Q（-）（10分）
當(dāng)k²≠1時(shí)，假設(shè)直線MN過x軸上一定點(diǎn)Q（m，0），則有，
，，則由，
解得m=-，
所以直線MN過x軸上一定點(diǎn)Q（-）（12分）．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．