Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）在線段上存在點(diǎn)滿足題意，．

【解析】

（1）如圖所示的等腰梯形中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分別作，，垂足為．利用矩形的性質(zhì)可求出，在中，利用余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可得，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明平面；

（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，設(shè)平面的法向量，可得，取平面的法向量，利用，，即可求出．

（1）如圖所示的等腰梯形中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分別作，，垂足為，則為矩形，．在中，，則，

同理可得，．

在中，，

，，．

又∵四邊形為矩形，平面平面，

平面平面，∴平面．

（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．

，，，設(shè)，

，

設(shè)平面的法向量，

則，∴

取．

取平面的法向量．

由，

由題意可得：，．

解得．

因此在線段上點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足，．