Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且橢圓C過點A(2，

3

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點B為橢圓C的下頂點，直線y=-x與橢圓相交于P，Q，求△BPQ的面積S．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：

3

a=2c，并且有

4

a2

+

3

b2

=1．結(jié)合a²=b²+c²可得：a²=16，b²=4．
（2）根據(jù)題意求出兩點的坐標，再根據(jù)三角形的特征，把其面積化為同底的兩個三角形的面積之和，即可得到△BPQ的面積S．

解答：解：（1）因為橢圓的離心率為

3

2

，
所以

3

a=2c．
又因為橢圓C過點A(2，

3

)，
所以

4

a2

+

3

b2

=1．
由以上結(jié)合a²=b²+c²可得：a²=16，b²=4．
所以橢圓的方程為：

x2

16

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立直線與橢圓的方程：

x2 16 + y2 4 =1 y=-x

，解得P（

4 5

5

，-

4 5

5

），Q（-

4 5

5

，

4 5

5

），
因為點B為橢圓C的下頂點，
所以△BPQ的面積S=

1

2

×b×|x1-x2|=

8 5

5

．
所以△BPQ的面積S為

8 5

5

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的標準方程，以及橢圓與直線的位置關(guān)系．