Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x=-1時函數(shù)y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）據(jù)偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）求出b值，將點（2，5）代入得c值，據(jù)導(dǎo)數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，
有g(shù)′（x）=0有實數(shù)解，由△≥0得范圍．
（2），函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0，導(dǎo)數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，故f（-x）=f（x）即有
（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c解得b=0
又曲線y=f（x）過點（2，5），得2²+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a從而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g(shù)′（x）=0有實數(shù)解．即3x²+2ax+1=0有實數(shù)解．
此時有△=4a²-12≥0解得
a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）所以實數(shù)a的取值范圍：a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）；
（2）因x=-1時函數(shù)y=g（x）取得極值，故有g(shù)′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-

1

3

當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)
當(dāng)x∈(-1，-

1

3

)時，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-

1

3

）上為減函數(shù)
當(dāng)x∈（-

1

3

，+∝）時，g′（x）＞0，故g（x）在( -

1

3

，+∝)上為增函數(shù)．

點評：本題考查偶函數(shù)的定義；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間．