Question

已知函數(shù)，其中c為常數(shù)，且函數(shù)f（x）圖象過(guò)原點(diǎn)．
（1）求c的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）已知函數(shù)，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f（0）=0，解得 c=0，故函數(shù)f（x）=．
（2）證明：設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=-==-．
由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），
故函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）令，
∴，即x=ln=-ln2，
即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)為 x=-ln2．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）圖象過(guò)原點(diǎn)，即f（0）=0，解得 c的值．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，化簡(jiǎn)f（x₁）-f（x₂） 的解析式為-＜0，得f（x₁）＜f（x₂ ），從而證明函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）令函數(shù)=0，求出x的值，即為函數(shù)的零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)零點(diǎn)的定義、求函數(shù)零點(diǎn)的方法，屬于基礎(chǔ)題．