Question

（2011•廣安二模）命題“若過雙曲線

x2

3

-y2=1的一個焦點F作與X軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為

3

”．
（1）試類比上述命題，寫出一個關(guān)于拋物線y²=4x的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不證明）．

Answer 1

分析：（1）先寫出類似命題（先取一條特殊直線，找到定值）；再設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程求出A，B兩點的坐標與直線方程的系數(shù)之間的關(guān)系，并求出A，B中點坐標，進而求出AB的垂直平分線方程以及點M的坐標；最后求出|AB|以及|FM|的長即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)上面的兩個命題找到其共同點：過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸與點M，則

|AB|

|FM|

為定值；再結(jié)合上面的兩個命題分析出定值的寫法即可．

解答：解：（1）關(guān)于拋物線C的類似命題是：過拋物線y²=4x的焦F（1，0）點作與x軸不垂直的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸與點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值為2．
證明：由已知可設(shè)直線l的方程為x=my+1（m≠0）：
由

y2=4x x=my+1

消去x得y²-4my-4=0
△=16（m²+1）＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B中點N（x₀，y₀）  則y₁+y₂=4m．
∴y₀=2m，x₀=2m²+1
∴N（2m²+1，2m）
∴AB的垂直平分線方程為y-2m=-m（x-2m²-1）：
令y=0，解得x=2m²+3．
所以M（2m²+3，0），故|FM|=2（m²+1）．
|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

(y1+y2) 2-4y1y2

=4（1+m²）
∴

|AB|

|FM|

=2．
（2）過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸與點M，則

|AB|

|FM|

為定值．且定值為

2

e

．

點評：本題是對直線與圓錐曲線問題的綜合考查．解決本題的關(guān)鍵在于設(shè)出直線方程，并聯(lián)立直線方程與曲線方程求出兩交點之間的距離以及對應(yīng)的垂直平分線方程．