Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′中，M為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面A′B′C′D′和側(cè)面CDD′C′上運(yùn)動(dòng)并且使∠MAC′=∠PAC′，那么點(diǎn)P的軌跡是（　　）

A．兩段圓弧

B．兩段橢圓弧

C．兩段雙曲線弧

D．兩段拋物線弧

Answer 1

分析：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可求得A，C′，M等點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得cos∠MAC′，設(shè)設(shè)AC′與底面A′B′C′D′所成的角為θ，繼而可求得cosθ，比較θ與∠MAC′的大小，利用“正圓錐曲線被與中心軸成θ的平面所截曲線定理”即可得到答案．

解答：解：P點(diǎn)的軌跡實(shí)際是一個(gè)正圓錐面和兩個(gè)平面的交線；這個(gè)正圓錐面的中心軸即為AC′，頂點(diǎn)為A，頂角的一半即為∠MAC′；
以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，1），C′（1，1，0），M（

1

2

，1，1），
∴

AC′

=（1，1，-1），

AM

=（

1

2

，1，0），
∵cos∠MAC′=

1× 1 2 +1×1

3 × ( 1 2 )2+1

=

3

5

=

15

5

=

135

15

，
設(shè)AC′與底面A′B′C′D′所成的角為θ，則cosθ=

|A′C′|

|AC′|

=

2

3

=

6

3

=

150

15

＞

135

15

，
∴θ＜∠MAC′，
∴該正圓錐面和底面A′B′C′D′的交線是雙曲線�。�
同理可知，P點(diǎn)在平面CDD′C′的交線是雙曲線弧，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正圓錐曲線被與中心軸成θ的平面所截曲線定理，考查分析運(yùn)算能力，屬于難題．