Question

已知－1≤x≤2，求函數(shù)f(x)＝3＋2·3^x+1－9^x的值域．

Answer 1

函數(shù)f(x)的值域為[－24,12]．

試題分析：利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用配方法，根據(jù)函數(shù)的定義域，即可求得函數(shù)f（x）的值域．
解：f(x)＝3＋2·3^x+1－9^x＝－(3^x)²＋6·3^x＋3.
令3^x＝t，
則y＝－t²＋6t＋3＝－(t－3)²＋12.
∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.              ------------------------6分
∴當(dāng)t＝3，即x＝1時，y取得最大值12；
當(dāng)t＝9，即x＝2時，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值為12，最小值為－24.
∴函數(shù)f(x)的值域為[－24,12]．      -----------------12分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是函數(shù)值域的求解，考查換元法的運(yùn)用，運(yùn)用換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域問題．