Question

設(shè)p為常數(shù)，函數(shù)f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數(shù)．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范圍；（3）求證：x•f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）^p，由f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數(shù)，知f（-x）=log₂（1+x）（1-x）^p=-f（x）=log2

1

(1-x)(1+x )p

，由此能求出p的值．
（2）由p=-1，知f（x）=log2

1-x

1+x

，由f（x）＞2，

1-x＞0 1+x＞0 1-x 1+x ＞4

，由此能求出f（x）＞2時x的取值范圍．
（3）由f（x）=log2

1-x

1+x

的定義域為{x|-1＜x＜1}，分-1＜x＜0，x=0和0＜x＜1三種情況進行討論，證明x•f（x）≤0．

解答：解：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）=log2

1

(1-x)(1+x )p

=log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴

1+x=(1+x)-p (1-x)p=(1-x)-1

，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=log2

1-x

1+x

，
∵f（x）＞2，
∴

1-x＞0 1+x＞0 1-x 1+x ＞4

，
解得-1＜x＜-

3

5

，
∴f（x）＞2時x的取值范圍是（-1，-

3

5

）．
（3）∵f（x）=log2

1-x

1+x

，
∴

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1．
當(dāng)-1＜x＜0時，

1-x

1+x

＞1，f（x）=log2

1-x

1+x

＞0，
∴x•f（x）＜0；
當(dāng)x=0時，

1-x

1+x

=1，f（x）=log2

1-x

1+x

=0，
∴x•f（x）=0；
當(dāng)0＜x＜1時，

1-x

1+x

＜1，f（x）=log2

1-x

1+x

＜0，
∴x•f（x）＜0．
綜上所述，x•f（x）≤0．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運用．