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        1. 【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,點(diǎn)E在AD上,且AE=2ED.
          (Ⅰ)已知點(diǎn)F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF⊥平面PAC;
          (Ⅱ)當(dāng)二面角A﹣PB﹣E的余弦值為多少時(shí),直線PC與平面PAB所成的角為45°?

          【答案】(Ⅰ)證明:∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°,

          ∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,

          ∴∠ACD=45°,即AD=CD,

          ,

          ∵AE=2ED,CF=2FB,∴

          ∴四邊形ABFE是平行四邊形,則AB∥EF,

          ∴AC⊥EF,

          ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF,

          ∵PA∩AC=A,

          ∴EF⊥平面PAC,∵EF平面PEF,

          ∴平面PEF⊥平面PAC.

          (Ⅱ)解:∵PA⊥AC,AC⊥AB,

          ∴AC⊥平面PAB,

          則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角,

          若PC與平面PAB所成夾角為45°,則 ,即 ,

          取BC的中點(diǎn)為G,連接AG,則AG⊥BC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,

          則B(1,﹣1,0),C(1,1,0), , ,

          , ,

          設(shè)平面PBE的法向量 ,則

          令y=3,則x=5, ,∴

          是平面PAB的一個(gè)法向量,

          ,

          即當(dāng)二面角A﹣PB﹣E的余弦值為 時(shí),直線PC與平面PAB所成的角為45°.


          【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出∠ACB=45°,從而∠ACD=45°,進(jìn)而四邊形ABFE是平行四邊形,推導(dǎo)出AC⊥EF,PA⊥EF,從而EF⊥平面PAC,由此能證明平面PEF⊥平面PAC.(Ⅱ)由PA⊥AC,AC⊥AB,知AC⊥平面PAB,則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角,取BC的中點(diǎn)為G,連接AG,則AG⊥BC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出直線PC與平面PAB所成的角.
          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          A.﹣
          B.﹣
          C.
          D.2

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          (2)討論函數(shù) 在定義域上的單調(diào)性;
          (3)若函數(shù) 上的最小值為 ,求 的值.

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          (Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , x1<x2且x2>e,若f(x1)﹣f(x2)≥m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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          A.(e,e2
          B.(e,
          C.(1,e2
          D.[1,e)

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