Question

(1)在△ABC中,D是上一點(diǎn),=,設(shè)=a,=b,試用a、b表示.

(2)設(shè)DEF三等分△ABC所在各邊，即BC=3BD,CA=3CE,AB=3AF(如圖).

求證:△ABC與△DEF有相同的重心.

Answer 1

思路解析：(1)一個(gè)向量用其他的向量來(lái)表示,就要找出向量間的關(guān)系,要結(jié)合具體圖形來(lái)找.

充分利用條件=來(lái)建立關(guān)系.

(2)兩個(gè)三角形重心重合,可考慮一個(gè)三角形的重心也是另一個(gè)的重心,用向量來(lái)證也就是△ABC重心O也滿足++=0.

解:(1)在△ABC中,

+==a.        ①

在△ACD中，

=+=b+.    ②

又=2,∴==(+)=(a-b).        ③

由①②③得=a+b.

(2)設(shè)△ABC的重心為O，P是的中點(diǎn),則+=2.

∵O是△ABC的重心,

∴=2.

∴+=,

即++=0.

而++=(+)+(+)+(+)

=(++)+(++)

=++

=++

=(++)

=0.

∴點(diǎn)O也是△DEF的重心.

故△DEF和△ABC的重心重合.