Question

函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，
∴f/(x)=aex，g/(x)=

1

x

∴y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，a），
y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（a，0）
由題意得f′（0）=g′（a），即a=

1

a

，
又∵a＞0，
∴a=1，
∴g（x）=lnx
（2）由題意g（x）≠0，
∴x＞0，x≠1
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，
∴φ/(x)=

2 x -lnx-2

2 x

令h（x）=2

x

-lnx-2，
∴h/(x)=

1

x

(1-

1

x

)
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）單調(diào)遞增．
∴h（x）＞h（1）=0
由m＜x-

x

lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，得m≤φ（1）=1
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx
可得φ/(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴φ（x）單調(diào)遞增．
由m＞x-

x

lnx=φ(x)在x∈（0，1）上恒成立，
得m≥φ（1）=1，
綜上，可知m=1；