Question

【題目】知向量，，函數(shù)，若的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為，且圖象過點.

（1）求表達(dá)式和的單調(diào)增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），的單調(diào)增區(qū)間為，；（2）或.

【解析】

（1）由題意，求得，進(jìn)而求得，，即可得到函數(shù)的解析式，求得其單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)，進(jìn)而求得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，要使得函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，只需函數(shù)的圖象和直線有且只有一個交點，即可求得結(jié)論．

（1）∵，

∴，

∴函數(shù)的最小正周期為，

∴，

∵的圖象過點，

∴.

∴，

∴．

由，，

得，，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得函數(shù)

的圖象；再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．

∵，

∴，

∴，

∴函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

∵函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，

∴函數(shù)的圖象和直線有且只有一個公共點，

根據(jù)圖象可知，或．

∴實數(shù)的取值范圍為．