Question

如圖△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（1）求點(diǎn)A到平面MBC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點(diǎn)，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延長(zhǎng)AM，BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，由此能求出點(diǎn)A到平面MBC的距離．
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線，由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形，作BF⊥EC于F，連接AF，∠AFB是二面角A-EC-B的平面角，由此能求出平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

解答：解：（1）取CD的中點(diǎn)，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，
則MO⊥平面BCD，
∴MO∥AB，A，B，O，M共面，
延長(zhǎng)AM，BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，
OB=MO=

3

，
MO∥AB，MO∥面ABC，
M，O到平面 ABC的距離相等，作OH⊥BC于H，
連接MH，則MH⊥BC，
∴OH=OC•sin60°=

3

2

，MH=

15

2

，
∵V_A-MBC=V_M-ABC，
∴d=

2 15

5

．
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線，
由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，連接AF，∠AFB是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為θ，
∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，
BF=BC•sin60°=

3

，
tanθ=

AB

BF

=2，sinθ=

2 5

5

，
所以平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的正弦值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．