Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F．
（Ⅰ）若傾斜角為

π

3

的直線AB過點F且交拋物線于A，B兩點，求弦長|AB|；
（Ⅱ）若過點F的直線交拋物線于A，B兩點，求線段AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）求出焦點坐標，點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程利用根與系數(shù)的關系，由弦長公式求得|AB|．
（II）設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達定理表示出y₁+y₂，進而根據(jù)直線方程求得x₁+x₂，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數(shù)k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．

解答：解：（I）由題意可得，拋物線的焦點F（1，0），由直線的斜角為

π

3

可知直線AB的斜率為

3

∴直線AB的方程為y=

3

(x-1)
聯(lián)立方程

y= 3 (x-1) y2=4x

可得，3x²-10x+3=0
解可得，x₁=3或x2=

1

3

由拋物線的定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+1+x₂+1=

16

3

（II）設過點F的直線AB得方程為x=ky+1，線段AB中點M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

x=ky+1 y2=4x

可得y²-4ky-4=0
∴y₁+y₂=4k，x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=4k²+2
由中點坐標公式可得，x=

x1+x2

2

=1+2k²，y=

y1+y2

2

=2k
消去k可得點M的軌跡方程，y²=2（x-1）

點評：本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長問題，注意拋物線的定義的應用，涉及弦的中點的時候，常需要把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理設而不求．