Question

設(shè)a₀為常數(shù)，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N⁺）．
（1）若數(shù)列{a_n+λ3ⁿ}是等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）假設(shè)對任意n≥1，有a_n≥a_n-1，求a₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知  a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），故 a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，待定系數(shù)法求出實數(shù)λ的值．
（2）根據(jù)數(shù)列{an-

1

5

•3n} 的首項為a0-

1

5

，公比為-2，可得通項公式．
（3）利用（2）的結(jié)果，得a_n≥a_n-1等價于(-1)n-1(5a0-1)＜(

3

2

)n-2…③，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出
 a₀的值，取交集即得所求．

解答：解：（1）由題意知a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，∴λ=-

1

5

．
（2）數(shù)列{an-

1

5

•3n} 的首項為a0-

1

5

，公比為-2．
an-

1

5

•3n=(a0-

1

5

)(-2)n，∴an=(-2)na0+

1

5

•3n-

1

5

•(-2)n，n=0，1，2，3，…
（3）利用（2）的結(jié)果，得a_n≥a_n-1等價于(-1)n-1(5a0-1)＜(

3

2

)n-2…③
對任意的奇數(shù)n＞0，③式都成立的充要條件為5a0-1＜(

3

2

)1-2=

2

3

，即a0＜

1

3

；
而對任意的偶數(shù)n＞0，③式都成立的充要條件為1-5a0＜(

3

2

)2-2=1，即a₀＞0．
因此任意n≥1，都使a_n≥a_n-1成立的a₀的取值范圍為 (0，

1

3

)．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
求出數(shù)列的通項公式，是解題的關(guān)鍵．