Question

若不等式（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

1≤m＜19

．

Answer 1

分析：此題要分兩種情況：①當(dāng)m²+4m-5=0時(shí)，解出m的值，進(jìn)行驗(yàn)證；②當(dāng)m²+4m-5=0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，要求二次函數(shù)的開口向上，與x軸無(wú)交點(diǎn)，即△＜0，綜合①②兩種情況求出實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：①當(dāng)m²+4m-5=0時(shí)，得m=1或m=-5，
∵m=1時(shí)，原式可化為3＞0，恒成立，符合題意
當(dāng)m=-5時(shí)，原式可化為：24x+3＞0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立，故舍去；
∴m=1；
②m²+4m-5≠0時(shí)即m≠1，且m≠-5，
∵（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立
∴有

m2+4m-5＞0 △=16(m-1)2-12(m2+4m-5)＜0

解得1＜m＜19
綜上得 1≤m＜19
故答案為1≤m＜19．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，以及分類討論的思想，此題易錯(cuò)點(diǎn)為討論m²+4m-5與0的關(guān)系，如果等于0，就不是二次函數(shù)了；