Question

已知向量

m

=(2

3

sin

x

4

，2)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)
（1）若

m

•

n

=2，求cos(x+

π

3

)的值；
（2）記f(x)=

m

•

n

，在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積以及二倍角公式兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出sin（

x

2

+

π

6

），然后求出cos(x+

π

3

)的值．
（2）通過（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理，求出B的值，通過三角形的內(nèi)角和，求出A的范圍，然后求出f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）

m

•

n

=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+2cos2

x

4

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

+1
=2sin(

x

2

+

π

6

)+1．
∵

m

•

n

=2
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

．
cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）．
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

．∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)  ＜1
又∵f(x)=

m

•

n

=2sin(

x

2

+

π

6

)+1，∴f（A）=2sin(

A

2

+

π

6

)+1
故f（A）的取值范圍是（2，3）

點評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡求值，正弦定理的應用，根據(jù)角的范圍求出函數(shù)值的范圍，考查計算能力．