Question

（本小題滿分12分）

已知一四棱錐P－ABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)。

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在何位置時(shí)，BD⊥AE？證明你的結(jié)論;

（Ⅲ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D－AE－B的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC="2."

∴----------------------------2分

(Ⅱ) 不論點(diǎn)E在PC上何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------3分

證明如下：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------5分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分

(Ⅲ) 解法一：在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，連結(jié)BG

∵CD="CB,EC=EC," ∴≌

∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴為二面角D－EA－B的平面角--------------------------10分

∵BC⊥DE,   AD∥BC ∴AD⊥DE

在Rｔ△ADE中==BG

在△DGB中，由余弦定理得

∴=-----------------------12分

[解法二：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：

則,從

設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為

由可得：，

同理得：。令，則，

∴------10分

設(shè)二面角D－AE－B的平面角為，則 ∴------12分

考點(diǎn)：錐體的體積公式；線面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；二面角。

點(diǎn)評(píng)：二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角，但結(jié)果往往求不對(duì)，出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯(cuò)誤。