Question

如圖，已知直角梯形ABCD的上底BC＝，BC∥AD，BC＝AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是邊長為2的等邊三角形.

(1)證明：AB⊥PB；

(2)求三棱錐A－PBD的體積.

Answer 1

(1)在直角梯形ABCD中，

因為AD＝2，BC＝，CD＝2，

所以AB＝＝.

因為BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，PB＝＝.

因為BC∥AD所以AD⊥平面PDC，

所以在Rt△PAD中，

PA＝＝＝2.

所以在△PAB中，PA²＝AB²＋PB²，所以AB⊥PB.

(2)過P作PE⊥DC，△PCD為等邊三角形，

∴E為DC中點，易得PE⊥平面ABCD，

且PE＝，所以V_A－PBD＝V_P－ABD＝S_△ABD·PE

＝×(·AD·DC)·

＝×2×2×＝.