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        1. 已知n是不小于3的正整數(shù),an=
          n
          k=1
          k
          C
          k
          n
          ,bn=
          n
          k=1
          k2
          C
          k
          n

          (1)求an,bn;
          (2)設(shè)cn=
          an
          bn
          ,求證:
          n
          k=1
          (ckck+1)<2
          分析:(1)由于an,bn是以和式出現(xiàn),而且與組合數(shù)有關(guān),借助于kCnk=nCn-1k-1,可進行轉(zhuǎn)化,從而求出數(shù)列的通項公式;
          (2)由(1)知cn=
          an
          bn
          =
          2
          n+1
          ,∴ckck+1=4(
          1
          k+1
          -
          1
          k+2
          )
          ,從而利用裂項求和法求和,故可證.
          解答:解:(1)an=
          n
          k=1
          k
          C
          k
          n
          =
          C
          1
          n
          +2
          C
          2
          n
          +…+n
          C
          n
          n
          ,
          因為kCnk=nCn-1k-1,所以an=nCn-10+nCn-11+…+nCn-1n-1=n(Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1)=n•2n-1.…3分
          因為k2Cnk=k•kCnk=k•nCn-1k-1,而kCn-1k-1=(k-1)Cn-1k-1+Cn-1k-1=(n-1)Cn-2k-2+Cn-1k-1(k≥2),
          所以,bn=
          n
          k=1
          k2
          C
          k
          n
          =n+
          n
          k=2
          [n(n-1)
          C
          k-2
          n-2
          +n
          C
          k-1
          n-1
          ]=n+n(n-1)
          n
          k=2
          C
          k-2
          n-2
          +n
          n
          k=2
          C
          k-1
          n-1

          =n(n-1)•2n-2+n•2n-1=n(n+1)•2n-2
          (2)cn=
          an
          bn
          =
          n•2n-1
          n(n+1)•2n-2
          =
          2
          n+1
          ,
          所以
          n
          k=1
          (ckck+1)=4
          n
          k=1
          (
          1
          k+1
          -
          1
          k+2
          )=4(
          1
          2
          -
          1
          n+2
          )<2
          點評:本題主要考查數(shù)列通項的求解及裂項求和法,同時考查了組合數(shù)的性質(zhì),有一定的綜合性.
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