Question

求與直線x+2y-1=0切于點(diǎn)A（1，0），且過點(diǎn)B（2，-3）的圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)所求圓O方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由直線x+2y-1=0與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，可得直線OA與已知直線垂直，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出直線AO的斜率，由A和O的坐標(biāo)表示出直線AO的斜率，得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作①式，把A和B的坐標(biāo)分別代入圓O的方程，得到兩個關(guān)于a，b及r的關(guān)系式，分別記作②式和③式，聯(lián)立三式即可求出a，b及r的值，確定出圓的方程．

解答：解：設(shè)所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
圓心O的坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，
由直線x+2y-1=0與圓O相切，可得直線AO與x+2y-1=0垂直，
∵x+2y-1=0的斜率為-

1

2

，∴直線AO的斜率

b

a-1

=2，①
把A的坐標(biāo)代入圓的方程得：（1-a）²+b²=r²，②
把B的坐標(biāo)代入圓的方程得：（2-a）²+（-3-b）²=r²，③
聯(lián)立①②③，解得a=0，b=-2，r=

5

，
則所求圓的方程為x²+（y+2）²=5．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用的方法是待定系數(shù)法，當(dāng)直線與圓相切時，切線垂直于過切點(diǎn)的直徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．