Question

（2013•福建）選修4-5：不等式選講
設(shè)不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集為A，且

3

2

∈A，

1

2

∉A
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

3

2

∈A，

1

2

∉A，推出關(guān)于a的絕對(duì)值不等式，結(jié)合a為整數(shù)直接求a的值．
（Ⅱ）利用a的值化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），利用絕對(duì)值三角不等式求出|x+1|+|x-2|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="xgmo0gt" class="MathJye">

3

2

∈A，

1

2

∉A，
所以|

3

2

-2|＜a且|

1

2

-2|≥a，
解得

1

2

＜a≤

3

2

，
因?yàn)閍∈N^*，所以a的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)f（x）的最小值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想．