Question

已知點(diǎn)A(

3

， 0)和圓C：(x+

3

)2+y2=16，點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在半徑CM上，且|PM|=|PA|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)B（-1，0）的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得到點(diǎn)P到A、C兩點(diǎn)的距離之和等于圓C的半徑CM長，由此可得P的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的橢圓．結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出橢圓的基本量，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），由兩點(diǎn)的距離公式得|PB|=

(x+1)2+y2

，再利用橢圓方程消去y得關(guān)于x的函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)B的距離的最小值．

解答：解：（1）圓C：(x+

3

)2+y2=16的圓心為（-

3

，0），半徑R=4
∵點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在半徑CM上，且|PM|=|PA|
∴|PC|+|PA|=|PC|+|PM|=|CM|=4------------------------2分
可得點(diǎn)P的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的橢圓，2a=4且2c=2

3

∴a=2，c=

3

，b=1------------------------------4分
橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1，即為所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；------6分
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則
|PB|=

(x+1)2+y2

，
根據(jù)橢圓方程，得y2=1-

x2

4

-------7分
代入上式，可得|PB|=

(x+1)2+(1- x2 4 )

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

-------------9分
∵-2≤x≤2------------------10分
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=-

4

3

時(shí)，|PB|min=

2 3

=

6

3

即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)B（-1，0）的距離的最小值為

6

3

----------------------------12分．

點(diǎn)評(píng)：本題在圓中給出動(dòng)點(diǎn)P滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并依此求距離的最大值．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)的距離公式和動(dòng)點(diǎn)軌跡求法等知識(shí)，屬于中檔題．