Question

【題目】已知?jiǎng)訄AP與圓：內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過曲線上一點(diǎn)（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意分析可得動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線,再根據(jù)拋物線的幾何意義求解方程即可.

(2) 設(shè)點(diǎn),,直線的方程為：,聯(lián)立直線與拋物線的方程,求得韋達(dá)定理代入求得或,再分析定點(diǎn)即可.

解：（1）由題意可知,動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為．

（2）易知,設(shè)點(diǎn),,直線的方程為：,

聯(lián)立,得,所以,所以

因?yàn)?/span>,即,

所以,所以,所以或

當(dāng)時(shí),直線的方程：過定點(diǎn)與重合,舍去；

當(dāng)時(shí),直線的方程：過定點(diǎn),所以直線過定點(diǎn)．