Question

已知A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C，D是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線AC，BD的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，則橢圓的離心率為

1

2

．

Answer 1

分析：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0），CD兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα），代入兩點(diǎn)之間斜率公式，結(jié)合|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，可得a，b的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率．

解答：解：不妨令A(yù)，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）
CD兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα）
故k₁=

bsinα

a+acosα

，k₂=

bsinα

a-acosα

，
故|k₁|+|k₂|=

2b

a|sinα|

，
又∵|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，
∴

2b

a

=

3

即4b²=3a²
故e=

a2-b2 a2

=

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的離心率，其中根據(jù)已知求出a，b的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．