Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點對稱，0∈D，且存在常數(shù)a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=，
（1）寫出f（x）的一個函數(shù)解析式，并說明其符合題設(shè)條件；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若存在正常數(shù)T，使得等式f（x）=f（x+T）或者f（x）=f（x-T）對于x∈D都成立，則都稱f（x）是周期函數(shù)，T為周期；試問f（x）是不是周期函數(shù)？若是，則求出它的一個周期T；若不是，則說明理由．

Answer 1

解：（1）取f（x）=tanx，定義域為{x|x≠kπ+，k∈Z}關(guān)于原點對稱，且0∈D；且存在常數(shù)使得
f（a）=tana=1；又由兩角差的正切公式知，符合．…（4分）
（2）f（x）是D上的奇函數(shù)；
證明如下：f（0）=0，取x₁=0，x₂=x，由
得f（-x）=-f（x），所以f（x）是D上的奇函數(shù)；…（4分）
（3）考察f（x）=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜測4a是f（x）的一個周期．
證明：由已知，則
=，
∴．
所以f（x）是周期函數(shù)，4a是f（x）的一個周期．…（7分）
分析：（1）取f（x）=tanx，滿足要求；
（2）可用賦值法，取x₁=0，x₂=x，由可證明f（x）是D上的奇函數(shù)；
（3）由，可求得，從而可求得f（x-4a）=f（x），f（x）是周期函數(shù)，T=4a．
點評：本題考察函數(shù)奇偶性的判斷，著重考查學(xué)生賦值法的應(yīng)用，考查學(xué)生對周期函數(shù)性質(zhì)的把握與運用，屬于難題．