Question

如圖所示，過點(diǎn)M（-6，0）作圓C：x²+y²-6x-4y+9=0的割線，交圓C于A、B兩點(diǎn)．
（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡；
（2）在線段AB上取一點(diǎn)Q，使，求點(diǎn)Q的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)，建立關(guān)于點(diǎn)P的方程，從而確定軌跡方程．
（2）利用代入法求點(diǎn)點(diǎn)Q的軌跡．
解答：解：（1）圓C的方程為（x-3）²+（y-2）²=4，其圓心為C（3，2），半徑為2．
又M∈{M|PC⊥MP，P在已知圓內(nèi)}，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），則CP的斜率為，MP的斜率為，
所以，化簡得x²+y²+3x-2y-18=0．
點(diǎn)C（3，2）應(yīng)在軌跡上，而x=3時(shí)，y=2滿足方程x²+y²+3x-2y-18=0，
所以點(diǎn)P的軌跡是圓x²+y²+3x-2y-18=0在已知圓內(nèi)的一段弧．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），直線AB的斜率為k，則有，
代入，有，
即，①
把y=k（x+6）代入x²+y²-6x-4y+9=0，得（k²+1）x²+2（6k²-2k-3）x+3（12k²-8k+3）=0，，②
②代入①并化簡得，而，從而有9x+2y-27=0，所以點(diǎn)Q的軌跡是直線9x+2y-27=0的圓內(nèi)部分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．