Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥AB，PC⊥BC，AC=PC=，PA=，PB=，D、F分別是PB、AC的中點，
(1)求證直線DF⊥平面ABC；
(2)求二面角C-PA-B大小的余弦值．

Answer 1

(1)證明：如圖①，取AB、BC的中點E、G，連接DE、EF、DG、FG， 則FG∥AB，EF∥BC，DE∥PA， ∵PA⊥AB，∴DE⊥AB， 由勾股定理可得AB=2，BC=1， 又AC=， ∴AC2=AB2+BC2， ∴AB⊥BC，∴EF⊥AB， ∴AB⊥平面DEF， ∴DF⊥AB，同理DF⊥BC， 又AB、BC相交于B點， ∴直線DF⊥平面ABC。
(2)解：如圖②，取PA的中點Q，連接QD，DC，QC， ∵PC=CA，PQ=QA，∴CQ⊥PA， ∵AB∥QD，AB⊥PA， ∴DQ⊥PA， ∴∠DQC為二面角C-PA-B的平面角， 在Rt△PCB中，， 在△PAB中，， 在△QAC中，， 所以，在△DQC中，由余弦定理，可得， ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值為。