Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為正三角形，俯視圖為正方形（尺寸如圖所示），E為VB的中點(diǎn)．

(1)求證：VD∥平面EAC；
(2)求二面角A—VB—D的余弦值．

Answer 1

（1）只需證VD∥EO；（2）。

試題分析：(1)由正視圖可得：平面VAB⊥平面ABCD，連接BD交AC于O 點(diǎn)，連EO，由已知可得BO=OD，
VE=EB
∴ VD∥EO  
又VD平面EAC，EO平面EAC
∴ VD∥平面EAC  
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為P，則由題意可知VP⊥平面ABCD，
建立如圖所示坐標(biāo)系

設(shè)=(x,y,z)是平面VBD法向量，
=(-2,2,0)    

由，
∴
∴ 
∴二面角A—VB—D的余弦值
點(diǎn)評(píng)：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點(diǎn)，而用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線(xiàn)，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。