Question

對函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0，b、c∈R）作x=h（t）的代換，使得代換前后函數的值域總不改變的代換是 ______．
（1）．h（t）=10^t；（2）．h（t）=t²；（3）．h（t）=2t；（4）．h（t）=log₂t．

Answer 1

解：（1）h（t）=10^t＞0，h（x）=ax²+bx+c的定義域由原來的R變?yōu)椋?，+∞），所以函數的值域發(fā)生改變
（2）h（t）=t²≥0，h（x）=ax²+bx+c的定義域由原來的R變?yōu)閇0，+∞），所以函數的值域發(fā)生改變
（3）h（t）=2t∈R，但f（t）=4at²+2bt+c與原來函數的解析式不同，函數的值域不同
（4）h（t）=log₂t∈R，且函數的解析式沒有發(fā)生變化，故函數的值域不變．
故答案為：（4）
分析：（1）要使函數的值域不變，根據函數的定義可知函數的定義域與函數的解析式都不能發(fā)生改變，（2）作x=h（t）的代換后函數的定義域改變，（3）作x=h（t）2t的代換，函數的解析式將發(fā)生改變．
點評：本題以函數的值域的求解為載體，考查函數的構成的三要素：定義域、值域、對應法則，若其中兩個發(fā)生變化，則第三個量將發(fā)生變化．