Question

如圖，已知ABCD是矩形，M、N分別是PC、PD上的點，MN⊥PC，且PA⊥平面ABCD，AN⊥PD，求證：AM⊥PC．

Answer 1

證明：∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN?平面PAD，
∴CD⊥AN，
∵AN⊥PD于點N，CD∩PD=D，
∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PC，
又MN⊥PC交PC于M，
∴PC⊥平面AMN，
∴AM⊥PC．
分析：利用線面垂直的判定定理證出CD⊥平面PAD，利用線面垂直的性質得到CD⊥AN，再利用線面垂直的判定定理證出
AN⊥平面PCD，利用線面垂直的性質得到AM⊥PC．
點評：本題考查線面垂直的判定定理和線面垂直的性質定理，證明線線垂直常利用證明線面垂直，屬于中檔題．