Question

若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個不同的數(shù)構成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
（1）判斷下列函數(shù)：①；②中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（2）證明：函數(shù)是等比源函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結論.

Answer 1

（1）①②都是等比源函數(shù)；（2）參考解析；（3）參考解析

試題分析：（1）函數(shù)滿足：集合中至少存在三個不同的數(shù)構成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù).由等比源函數(shù)的定義可知.令x=1,2,4.即可得函數(shù)對應的三項為等比數(shù)列.令x=10,100,10000即可得函數(shù)對應的三項成等比數(shù)列.所以①②都是等比源函數(shù).
（2）由函數(shù)，通過列舉三項即可得到證明.
（3）函數(shù)，不是等比源函數(shù).假設存在三項使得函數(shù)是等比源函數(shù)，利用等比數(shù)列的等比通項的知識，以及奇偶性的知識即可得到函數(shù)，不是等比源函數(shù).
試題解析：（1）①②都是等比源函數(shù)；4分
（2）證明：，，
因為成等比數(shù)列
所以函數(shù)是等比源函數(shù)；10分
其他的數(shù)據(jù)也可以
（3）函數(shù)不是等比源函數(shù).證明如下：
假設存在正整數(shù)且，使得成等比數(shù)列，
，整理得，
等式兩邊同除以得.
因為，所以等式左邊為偶數(shù)，等式右邊為奇數(shù)，
所以等式不可能成立，
所以假設不成立，說明函數(shù)不是等比源函數(shù).18分