Question

（本小題滿分13分）

設(shè)函數(shù)，其中，且a≠0.

（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的最小值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）－1（Ⅱ）當a＜0時，函數(shù)區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，當a＞0時，函數(shù)在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意。 1分

令。        2分

當x變化時，的變化情況如表：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
		+	0	－
	－1	↗	極大值	↘	2－e

即函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，e）上單調(diào)遞減。    4分

因為，

所以當x=1時，在區(qū)間[1，e]上有最小值－1。  5分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為（0，+∞）。 6分

求導(dǎo)，得。    7分

當a＜0時，

由x＞0，得。

所以在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；  9分

當a＞0時，

令＝0，得x=a。      10分

當x變化時，與的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
	+	0	－
	↗	極大值	↘

即函數(shù)在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減。

綜上，當a＜0時，函數(shù)區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當a＞0時，函數(shù)在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減。   13分

考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值最值單調(diào)區(qū)間

點評：函數(shù)的最值出現(xiàn)在閉區(qū)間的端點處或極值點處，因此只需求出端點處函數(shù)值極值后比較大小得最值，在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域，第二問中因為定義域，因此要對參數(shù)a分情況討論