Question

已知函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

+a是奇函數(shù)，則a=

-

1

2

．用符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是

{0，-1}

．

Answer 1

分析：直接根據(jù)奇函數(shù)中f（0）=0即可求出a；再化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，對(duì)x的正、負(fù)、和0分類討論，求出[f（x）]+[f（-x）]的值．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

2x

1+2x

+a是奇函數(shù)；
∴f（0）=

20

1+20

+a=0⇒a=-

1

2

，
∴f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=1-

1

1+2x

-

1

2

=

1

2

-

1

1+2x

當(dāng)x＞0，0≤f（x）＜

1

2

[f（x）]=0
當(dāng)x＜0，-

1

2

＜f（x）＜0，[f（x）]=-1
當(dāng)x=0，f（x）=0，[f（x）]=0
所以：當(dāng)x=0 y=[f（x）]+[f（-x）]=0
當(dāng)x不等于0 y=[f（x）]+[f（-x）]=0-1=-1
所以，y的值域：{0，-1}
故答案為：-

1

2

，{0，-1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性奇偶性及其特點(diǎn)，考查學(xué)生分類討論的思想，是中檔題．