Question

已知首項為1的數列{a_n}滿足：對任意正整數n，都有：，其中c是常數．
（Ⅰ）求實數c的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設數列的前n項和為S_n，求證：S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=1時，1×2=2×2+c，解得c=-3．
（Ⅱ）由得，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）由a_n=n²，知數列={n•}．由錯位相減法求得．S_2m=．所以S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，1×2=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵，①
∴+…+=[（n-1）²-2（n-1）+3]•2^n-1+c，②
①-②，并整理，得，
∴a_n=n²．
（Ⅲ）∵a_n=n²，
∴數列={n•}．
∴S_2n-1=1+2+3+…+（2n-1）•，
-S_2n-1=1+2+…+（2n-2）•+（2n-1）•，
∴S_2n-1=1+++…+-（2n-1）•，
==，
∴．
同理，S_2m=．
∴S_2n-1＞S_2m，其中m，n∈N^*．
點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意特殊值和錯位相減法的合理運用．