Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點的動直線與雙曲線相交于兩點.

（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：由條件知，，設，.

解法一：（I）設，則，，

，由得

即

于是的中點坐標為.

當不與軸垂直時，，即.

又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即.

將代入上式，化簡得.

當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程.

所以點的軌跡方程是.

（II）假設在軸上存在定點，使為常數(shù).

當不與軸垂直時，設直線的方程是.

代入有.

則是上述方程的兩個實根，所以，，

于是

.

因為是與無關的常數(shù)，所以，即，此時=.

當與軸垂直時，點的坐標可分別設為、，

此時.

故在軸上存在定點，使為常數(shù).

解法二：（I）同解法一的（I）有①

當不與軸垂直時，設直線的方程是.

代入有.

則是上述方程的兩個實根，所以.②

. ③

由①、②、③得.…………………………………………………④

.……………………………………………………………………⑤

當時，，由④、⑤得，，將其代入⑤有

.整理得.

當時，點的坐標為，滿足上述方程.

當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程.

故點的軌跡方程是.

（II）假設在軸上存在定點點，使為常數(shù)，

當不與軸垂直時，由（I）有，.

以下同解法一的（II）.