Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（0，1），短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，若直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知橢圓C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可設(shè)，由條件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，由根的判別式和韋達(dá)定理知，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知橢圓C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
可設(shè)，
由條件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，
解得
故橢圓C的離心率為，
其標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（Ⅱ）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*），

∵
∴-x₁=3x₂，
∴
由此，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴
整理得4k²m²+2m²+k²-2=0，
，上式不成立；
，
因k≠0
∴，
∴
容易驗(yàn)證k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（-1，-）∪（，1）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓合理進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．